The ISM's cégep-university programme aims to create closer ties between cégeps and universities. In this view, the Institute offers a series of conferences given free of charge by active researchers who also have a talent for communicating to the general public. Each conference, intended for students and teachers alike, gives a clear overview of a field that is at the forefront of mathematical research.
If you would like to invite a speaker to your cégep, simply contact the ISM with the names of the talks that interest you from the list below. Most conferences are available in French or English.
Several publications are also available, namely the magazine Accromath and the document Mathématiques An 2000, co-published with the Association mathématique du Québec for the World Mathematics Year in 2000.
Newton fut le premier à donner une étude systématique des courbes planes définies par les polynômes de degré trois. Il en donna une classification en soixante-douze types, selon leur "forme". Cette étude inspira plusieurs générations de mathématiciens, et ces courbes se sont révélées des objets mathématiques d'une richesse inépuisable encore aujourd'hui (notamment dans la preuve du dernier théorème de Fermat dans les années 90). Nous esquisserons la classification de Newton, l'accueil qu'elle reçu, et quelques prolongements fondamentaux.
En 1956, l'artiste C.M. Escher a dessiné une lithographie tordue qu'il a laissée inachevée, au centre, parce qu'il ignorait comment procéder pour la terminer. Derrière la construction qu'il tenta vainement d'achever, se cache une jolie histoire mathématique qui fait appel à divers notions mathématiques allant de l'analyse complexe à la théorie des groupes. Nous allons expliquer comment une équipe de mathématiciens hollandais a récemment complété cette lithographie.
Le but de cet exposé est d'illustrer pour un public général les interactions entre la combinatoire et l'algèbre abstraite. Les sujets abordés comprendront: les groupes de symétries, les partages d'entiers, les fonctions symétriques, certains déterminants, etc.; et diverses interactions entre ces objets mathématiques. Outre les applications aux mathématiques en tant que telles, il sera question d'applications à la physique à l'informatique, à la chimie etc.
Le but de cette présentation est de montrer que les mathématiques font intervenir beaucoup d'autres notions que nombres, fonctions, ou cercles et droites. A cette fin, nous allons explorer de multiples objets mathématiques relevant autant du monde des arts que de la science, en passant entre autres par les fractals et la quatrième dimension.
La cryptographie est la science des messages secrets. Le but de cette présentation est de présenter comment la cryptographie a évolué au cours de l'histoire, en partant de César pour en arriver à la cryptographie moderne. En plus de présenter rapidement l'histoire de la cryptographie, nous allons montrer comment les mathématiques de tout calibre (algèbre vectorielle, probabilité, combinatoire, géométrie, théorie des nombres, etc.) jouent un rôle important, que ce soit pour construire des codes ou les casser.
Les Tours de Hanoï sont un casse-tête discret ramené d'orient au siècle dernier. La courbe de Sierpinski est une courbe fractale de dimension log(3)/log(2) qui se recoupe en chacun de ses points. La rangée n du triangle de Pascal contient les coefficients du binôme (a+b)n. Qu'ont donc en commun ces trois objets mathématiques.. et la date de la fin du monde ? C'est ce que nous découvrirons en analysant le casse-tête des Tours de Hanoï suivant un article de Ian Stewart.
On étudie dans les cours de calcul différentiel dans l'espace, la notion de champs de vecteur sans trop de motivation géométrique. Le but de cet exposé est de voir comment l'étude de champs de vecteurs tangents à des courbes ou surfaces dans l'espace peut avoir des conséquences telles le titre de la conférence, et nous permet une meilleure compréhension des propriétés intrinsèques des objets qui nous entourent.
La théorie des nombres s'interesse aux nombres entiers 1,2,3,4,.... et à leurs propriétés d'une subtilité souvent surprenante: nombres premiers et leur répartition, solutions entières d'équations (dites Diophantiennes), etc. Bien souvent ce sont des critères purement esthétiques qui guident le choix de ses problèmes. Science abstraite et « pure » par excellence, la théorie des nombres s'est néanmoins révélée aux cours des dernières années avoir des applications à des domaines très pratiques, en théorie des codes et des communications, en cryptographie, et en informatique théorique par exemple. Nous traiterons de quelques unes de ces applications.
The study of integral solutions to Diophantine equations is as old as civilization itself. I will survey some of the milestones in this study, from the ancient Babylonians to Pierre de Fermat to Andrew Wiles, a mathematician from Princeton who in 1994 solved one of the most celebrated and difficult Diophantine equations of all: Fermat's Last Theorem, which had resisted the efforts of the best minds for over 350 years.
Les systèmes de cryptographie a clé publique ont l'immense avantage de permettre à Alice et Bob d'échanger toutes leurs informations, y compris les cles de codage, sur un canal public. En fait, en théorie, tout le monde peut décoder les messages de Alice et Bob: il suffit de factoriser un très grand entier! Mais c'est un problème intraitable, c'est-à-dire impossible a résoudre en temps raisonnable même avec les ordinateurs les plus puissants. Ces systèmes de cryptographie sont donc parfaitement adaptes au monde moderne, et par exemple aux communications sur internet. Nous expliquons dans cet expose comment bâtir un tel système de cryptographie, et comment s'assurer de sa sécurité.
Depuis plus de 2000 ans, les nombres premiers fascinent les mathématiciens tant amateurs que professionnels. C'est que l'étude du comportement des nombres premiers est truffée de mystères et semble constituer une source inépuisable de conjectures. Par ailleurs, depuis toujours, les résultats concernant les nombres premiers sont considérés comme un pur exercice de l'esprit dénoué de toute application concrète. Or les mathématiciens de la fin du XXe siècle ont réussi à mettre à profit le comportement mystérieux des nombres premiers, et cela en développant une méthode qui allait révolutionner la science de la cryptographie. Il s'agit en effet d'une méthode qui permet de sécuriser totalement l'échange de l'information, en particulier sur l'Internet. Notre exposé se veut donc un voyage dans l'univers fascinant des nombres premiers avec comme destination finale l'utilisation des nombres premiers en cryptographie.
L’objectif principal de cet exposé est de montrer, au moyen d’exemples et d’applications concrètes, que les mathématiques appliquées et en particulier la modélisation numérique sont passionnantes, fort utiles et qu’elles se situent au cœur des sciences appliquées (mécanique des fluides, séchage du bois, traitement du cancer, conceptualisation de pneus).
Un petit palmarès de résultats élémentaires, amusants ou paradoxaux, et des répercussions qu'ils ont parfois dans la pratique de la statistique.
A la demande du gouvernement fédéral, Statistique Canada procède tous les cinq ans au recensement de la population du pays. Il s'agit d'une opération de grande envergure, dont la dernière édition a coûté aux contribuables canadiens la coquette somme d'un demi-milliard de dollars. Malgré tout le soin apporté à cette entreprise, on estime qu'environ 3 % des résidents du territoire ne sont pas énumérés. Après avoir décrit en termes généraux la mécanique d'un recensement à grande échelle, le conférencier présentera la problématique du sous-dénombrement de la population, ainsi que les moyens qui ont été envisagés par Statistique Canada et ses partenaires pour tenir compte de ce phénomène dans l'ajustement des effectifs provinciaux. Le choix de la technique à employer est controverse, car ses répercussions sont importantes, notamment sur la péréquation et les transferts fiscaux entre les différents paliers de gouvernement.
La statistique est la science de la cueillette, de l'organisation, de l'analyse et de l'interprétation de données. Elle utilise le langage probabiliste pour élaborer des prévisions et soutenir la prise de décision en contexte d'incertitude. Comment s'étonner alors que le statisticien soit périodiquement invité par les cours de justice à évaluer des risques ou à se prononcer le plus objectivement possible sur la vraisemblance relative de diverses hypothèses ou scénarios. Le conférencier décrira les principaux écueils scientifiques et éthiques que comporte le rôle de témoin-expert en statistique et illustrera son propos à l'aide d'anecdotes (parfois amusantes) tirées de son expérience personnelle.
Voici un exposé général décrivant, à l'aide de nombreux exemples concrets (fabrication de gâteaux, gestion de la faune, recensement de la population canadienne), le type de problèmes administratifs, scientifiques et industriels que le statisticien peut aider à résoudre par la planification d'expérience, l'analyse de données et la prévision. Les participants seront également renseignés sur les programmes de formation en statistique, les qualités requises des diplômés et les perspectives de carrière dans un secteur d'activité mathématique en plein essor où les débouchés, les défis et la rémunération sont excellents, statistiques à l'appui.
La présentation a pour but de montrer comment une formation en mathématiques, statistique ou actuariat peut conduire à des perspectives de carrières intéressantes que ce soit dans des entreprises privées, des organismes gouvernementaux ou encore dans les différents réseaux d'enseignement.
Le but de cet exposé sera de présenter la formule de Gauss-Bonnet, qui établit un lien remarquable entre l'intégrale de la courbure totale d'une surface fermée et son genre, c'est-à-dire son nombre de "trous". Cette formule a eu un impact profond sur la géométrie et sur les mathématiques en général. Cet impact se reflète parmi les résultats les plus importants des mathématiques contemporaines, que ce soit en géométrie, en analyse ou en théorie des nombres.
Le but de cet exposé sera de donner un aperçu des rapports étroits qui lient la géométrie des surfaces dans l'espace euclidien aux propriétés remarquables de solvabilité directe de certaines classes d'équations aux dérivées partielles. Ces rapports sont à la base de nombreux développements importants des mathématiques d'aujourd'hui.
Description d'un logiciel qui trace des surfaces mathématiques (luisantes, colorées, avec parties cachées) dans divers systèmes de coordonnées à partir de formules mathématiques bien choisies. Présentation de plusieurs échantillons de surfaces produites par le logiciel que j'ai découvertes par simple expérimentation. Ces surfaces s'apparentent souvent à des formes vivantes végétales, des designs d'objets inattendus, ou à de l'art visuel pur et simple.
A l'aide de transparents colorés, nous présentons d'abord plusieurs figures illustrant des structures discrètes (arbres, arborescences, cycles, partitions, endofonctions, etc). Nous rassemblons ensuite les structures en espèces de structures que nous combinons a l'aide d'opérations (somme, produit, substitution, dérivation, etc). Cette combinatoire des structures nous permet de voir le calcul différentiel et intégral sous un angle nouveau.
Gilbert Labelle participe, depuis une trentaine d'années, à la préparation des questionnaires des Concours Mathématiques du Québec organisés annuellement par l'Association mathématique du Québec (AMQ). Il est responsable du comité du questionnaire pour le niveau collégial (CEGEPS) depuis 1990. Il s'agit de concours qui visent, dans un esprit de créativité et de saine compétition, à découvrir et encourager les jeunes talents mathématiques. A l'aide de transparents, Gilbert Labelle présentera divers échantillons de questions du concours, discutera les réactions qu'elles suscitent et présentera, pour chaque question, une proposition de solution.
You are the manager of Hilbert's Hotel, which contains an infinite number of rooms, all of which are occupied. You will be confronted with a series of problems trying to find room for several groups of tourists, including an infinite caravan of buses and aliens with strange sounding names ... With the help of these informal examples we discuss various intriguing aspects of the notion of infinite set.
Vous êtes le gérant du Hilbert, hôtel de renom qui contient une infinité de chambres, toutes occupées, bien sûr. Vous serez confronté à une série de problèmes qui consistent à trouver des chambres pour divers groupes de gens, incluant une caravane infinie d'autobus et des extra-terrestres aux noms bizarres ... A travers ces exemples informels, nous discuterons de quelques aspects intrigants de la notion d'infini.
Etant donnée une équation telle que ax2 + bx + c = 0 nous avons appris très tôt à trouver ses solutions avec la formule bien connue: et si a,b,c sont entiers l'on peut déterminer aisément si ces solutions sont des entiers. Existe-t-il une méthode similaire pour déterminer si une équation polynomiale à coefficients entiers arbitraire possède une solution en nombres entiers? Ne pourrait-on pas écrire un programme d'ordinateur pour répondre à cette question?
Yuri Matiyasevich (à l'âge de 22 ans) a démontré en 1970 qu'un tel programme ne peut exister: aucune machine, soit-elle de nature mécanique, électronique (ou même quantique !) ne peut résoudre ce problème.
Comment peut-on prouver une telle assertion ? A l'aide d'exemples simples, nous discuterons des méthodes employées par les mathématiciens pour modéliser la notion d'ordinateur, et plus généralement d'algorithme, et comment Alan Turing, inspiré par les travaux de Kurt Gödel, démontra en 1936 qu'il existe des problèmes de décision naturels qui ne peuvent être résolus par des ordinateurs.
Dans cette conférence on montrera comment unifier les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière en un principe fort élégant. On présentera les applications technologiques. On s’intéressera ensuite aux propriétés remarquables des miroirs de révolution dont la section est une conique et à leurs multiples applications.
La théorie des noeuds est née de considérations en physique. Après s'être développée comme sujet purement mathématique elle a reçu une impulsion sans précédent suite à la progression de la physique théorique. Ses applications sont aussi nombreuses dans les autres sciences, dont la biologie moléculaire et la chimie. Après un court historique et survol des domaines d'application nous discuterons en détail le rôle de la théorie des noeuds en biolgie moleculaire, plus specialement pour expliquer l'action de certains enzymes sur l'ADN.
La conférence portera sur l'apport du 20e siecle dans la théorie des systèmes dynamiques. La théorie des systèmes dynamiques traite de l'analyse des systèmes qui evoluent dans le temps. Le sujet dans sa forme actuelle a ete lancé par Poincaré a la fin du 19e siècle. Les contributions de Poincaré sont de plusieurs ordres. Il a découvert que déterminisme et chaos ne s'excluent pas nécessairement et que pour beaucoup de systèmes dynamiques il est impossible de décrire l'état du système à chaque instant à l'aide de "bonnes" fonctions mathématiques. Dans un deuxième ordre les méthodes "qualitatives" introduites par Poincaré permettent de donner de l'information sur l'évolution à long terme du système.
Le 20e siècle a aussi été dominé par l'avènement de l'ordinateur. Avec lui les mathématiques sont devenues une science expérimentale. Dans le cas de systèmes chaotiques il existe une apparente contradiction entre le fait que des erreurs initiales minimes nduisent à de très grandes erreurs de prévision et le fait qu'un ordinateur fait des calculs approchés. On montrera comment mathématiciens et physiciens apprennent à composer avec cette contradiction.
La conférence sera illustrée par des exemples dont le célèbre problème de mécanique newtonienne "Le système solaire est-il stable?" sur lequel le 20e siècle a apporté des contributions très importantes.
La conférence montrera comment certaines propriétés élémentaires des polygones et des polyèdres ont été généralisées pour les courbes dans le plan et les surfaces de l'espace. On traitera de plusieurs aspects des polyèdres : théorème d'Euler, théorème de Descartes. On montrera comment leur preuve contient en germe les grands théorèmes de géométrie différentielle sur les surfaces comme le théorème de Gauss-Bonnet.
Nous sommes souvent confrontés aux questions suivantes de la part d’étudiants ou du public: « À quoi servent les mathématiques? », « Existe-t-il des théorèmes qui n’ont pas été découverts? » Ces questions importantes méritent une réponse, encore plus quand elles viennent des jeunes. En effet c’est au niveau secondaire que les jeunes font le choix de s’intéresser aux sciences et aux mathématiques, même si le choix définitif s’effectue au collégial. La conférence présente des exemples modernes d’applications technologiques des mathématiques. Les exemples choisis font appel à des mathématiques relativement élémentaires tout en illustrant que la sophistication mathématique est indispensable si l’on veut améliorer les produits. Dans cette conférence nous ferons un tour d’horizon d’applications des mathématiques : la cryptographie, les codes correcteurs d’erreurs, le GPS, les robots, la vision des ordinateurs et des robots, la compression d’images, la théorie des nœuds et ses applications en biologie, etc. Plusieurs de ces sujets font partie de ceux que nous abordons dans notre nouveau cours « Mathématiques et technologie » destiné aux futurs enseignants du secondaire.
L'oeuvre de M.C. Escher est saisissant: perspectives, trompe-l'oeil, mosaïques séduisent autant l'oeil que l'esprit. Datée de 1959, sa gravure Limite Circulaire III est, mathématiquement parlant, son oeuvre la plus complexe et la plus parfaite. Elle donne une visualisation simple (et exacte!) de deux concepts mathématiques: la géométrie non-euclidienne et les groupes de transformations.
The work of M.C. Escher is striking: perspectives, trompe-l’oeil, and mosaics appeal as much to the eye as to the mind. Dated 1959, his woodcut Circular Limit III is, mathematically speaking, his most complex and most perfect work. It gives a simple (and accurate) visualization of two mathematical concepts: non-Euclidean geometry and transformation groups.
L'analyse de Fourier est un outil mathématique permettant d'identifier les ondes de base (fonctions sinus et cosinus) contenues dans une fonction donnée. Appliquée à un son, cet outil révèle que chaque instrument de musique émet un ensemble de sons complexe, un peu comme un choeur entier le ferait. Alors est-ce qu'un mathématicien peut recréer de toutes pièces le son d'un instrumentiste? C'est tentant d'essayer ...
(Also available in English under the title : The Sounds of Music)
En 1998 deux jeunes étudiants du Département d'informatique de l'Université Stanford inventent un algorithme pour ordonner les pages de la grande toile. La même année ils fondent Google et mettent à la disposition des internautes un nouveau moteur de recherche. En quelques mois, ce moteur est devenu l'outil de tous et de chacun. Cet exposé présente cet algorithme ingénieux. (Cette conférence utilise la multiplication matricielle. Il s'adresse donc à des étudiants qui terminent le cours d'algèbre linéaire et géométrie vectorielle.)
(This conference is also available in English under the title "Why do you use Google?")